在变频器驱动电机来拖动被控对象的应用中，变频器中的速度给定通常需要经过给定积分器后再使用。这样在速度发生阶跃变化时，可以减小电机对拖动设备的瞬时冲击、延长设备的使用寿命。

近年来，随着可编程控制器（PLC）运算速率的提升，在用PLC控制变频器拖动被控对象时，工程人员逐渐开始将给定积分器的功能放在PLC中实现。这样既可以提高控制编程的灵活性，也可以降低传动装置的运算负担。

本文以西门子S7-1500 PLC为例，介绍给定积分器的实现方法。由于阶跃速度给定经过给定积分器后的输出曲线为S型曲线，下文将给定积分器简称为S曲线积分器。

1 S曲线的实现

1.1 数学表达式

S曲线加减速过程示意图如图1所示[1]。

图1 S曲线加减速过程示意图Fig.1 Schematic for the acceleration and deceleration process of S-shaped curve

由图1可知，S曲线分为起始圆弧段（t0—t1或t4—t5）、匀加速段（t1—t2或t5—t6）和终止圆弧段（t2—t3或t6—t7）。其中起始圆弧和终止圆弧段为变加速过程；匀加速段为恒加速过程。S曲线减速过程与加速过程类似，下面只描述加速过程的表达式。

加速度a(t)表达式如下：

式中：J为加速度的变化率；A为匀加速段的加速度。

速度v（t）表达式如下：

PLC为离散控制器，需要将连续方程式（2）、式（3）转化为差分方程后使用。式（3）的微分形式为dv(t)=a(t)dt，离散化得到下式：

设置TA为PLC扫描周期，则有：

同理公式（1）离散化结果如下：

1.2 S曲线程序块引脚规划

为方便程序的移植，这里采用SCL语言编写S曲线程序块。程序块需在固定周期中断任务中调用。扫描周期TA通过输入引脚手动输入或采用系统RUNTIME块处理得到。

图2为S曲线程序块结构图。图2中，采用工程技术人员习惯使用的加减速时间和圆弧时间作为描述S曲线运行过程的输入引脚。其中TU为加速时间TU输入引脚，TD为减速时间TD输入引脚，TRU为加速时的圆弧时间TRU输入引脚，TRD为减速时的圆弧时间TRD输入引脚，NRM为速度标幺值NRM输入引脚，LU和LL分别为速度输出的上限值LU和下限值LL输入引脚。

图2 S曲线程序块结构图Fig.2 Structure for the program block of S-shaped curve

根据工程应用需要，S曲线程序块有几种模式可选择，按优先级从高到低的顺序依次为EN?ABLE，S，CF，CU，CD模式。其中ENABLE=1为程序块使能；S=1为将速度输出YV置为输入速度XV；CF=1为输出YV对设定XV积分；CU=1为输出YV对LU积分；CD=1为输出YV对LL积分。

输出引脚主要有速度输出YV、加速度输出YA、最小停车距离L、运行距离YP及程序块故障输出QF输出引脚。

1.3 S曲线编程实现

S曲线程序块编程步骤如下：

1）判断输入参数的合法性。

2）根据 TU，TD，TRU，TRD的输入值计算加速度和加速度的斜率。当TU=0或TD=0时，加速过程或减速过程完全为圆弧过程，即文献[2]中的五段S曲线，加速度曲线为三角形；当TRU=0或TRD=0时，为匀加速或匀减速过程，即文献[3]中梯形速度曲线，加速度曲线为矩形。

3）根据模式输出，选择积分速度输入。

4）根据速度和加速度方向，选择A和J，伪代码如表1所示。

表1 加速度选择伪代码Tab.1 Pseudocode of accelerated speed selectionAlgorithm 1：1：AU：=NRM/（TU+TRU）；//升速时加速度2：RU：=AU/TRU；//升速时加速度的加速度3：AD：=NRM/（TD+TRD）；//降速时加速度4：RD：=AD/TRD；//降速时加速度的加速度5：IF（dV＞=0）THEN//正向加速or反向减速or匀速6： A：=AU；7： J：=RU；8：ELSE//正向减速or反向加速9： A：=AD；10：J：=RD；11：END_IF；12：Aup：=A；//加速度上限13：Adn：=-1.0*#A；//加速度下限

5）加速度限幅：加速度上限值Aup=A，加速度下限值Adn=-A。

6）判断终止圆弧拐点：速度变化过程中，实时计算起始圆弧速度累计变化量dVJ=|A|·A/（2J）。以YV-XV=dVJ作为终止圆弧的起点，可以确保起始圆弧与终止圆弧对称。计算过程伪代码如表2所示。

表2 圆弧拐点判断伪代码Tab.2 Pseudocode of arc inflection point judgmentAlgorithm 2：1：dVJ=|A|*A/（2J）；//起始圆弧速度变化量2：IFe_V＜dVJ THEN//圆弧拐点判断3： NEG：=TRUE；4：ELSE 5： NEG ：=FALSE；6：END_IF；7：IFe_V=0.0THEN 8： A_INC：=0.0；//匀速9：ELSEIF NEG=FALSE THEN 10： A_INC：=J；//加速度累加11： ELSE 12： A_INC：=-1*J；//加速度累减13：END_IF；

7）按照式（6），每个扫描周期对加速度进行更新。加速度到达限幅时，停止更新。

8）按照式（5），每个扫描周期对速度更新。速度到达限幅时，停止更新。

9）计算并输出加速度：

式中：YV_old为上周期的YV输出。

10）计算最短停车距离L和运行距离YP。

在S7-1500 PLC中完成S曲线程序块的编写，封装的程序块如图2所示。在PLC中以5 ms扫描周期调用程序块，采用ibaPAD软件进行曲线记录，采样周期为10 ms。

程序块S曲线阶跃输入响应曲线如图3所示，其中V1_OUT为速度输出曲线，YA1为加速度曲线。

图3 S曲线阶跃输入响应Fig.3 Step input response of S-shaped curve

2 S曲线的应用

2.1 动态惯量补偿

用电机拖动如张力辊、卷取机等刚体做旋转运动时，在加、减速过程中，为确保被控对象对速度给定的跟随性能，需要按下式对旋转的控制对象进行惯量补偿：

式中：M为需要补偿的转矩，N·m；I为转动惯量，kg·m2，可以根据实际拖动对象的形状和材质直接积分计算得到；aω为角加速度，rad/s2；av为线加速度，m/s2；r为转动半径，m；ω为角速度，rad/s；v为线速度，m/s。

实际工程项目中，通常按照实际生产工艺要求对拖动对象进行加、减速运动测试，再根据实测转矩的百分数折算惯量补偿值。

图4为现场某张力辊从45 m/min加速到190 m/min的速度、电机额定转矩百分比曲线。其中转矩曲线中位置①和位置③分别为低速和高速时的摩擦转矩，位置②和位置①的差值为需要补偿的加速转矩Mnor。

图4 速度、转矩曲线Fig.4 Curves of the speed and torque

生产运行过程中按照下式进行动态惯量补偿：

式中：YAnor为惯量测量时的加速度；YA为生产时S曲线程序块输出的实际加速度；Me为电机额定转矩。

在惯量测量时，应进行多点多次测量，取平均值应用。

2.2 S曲线串联

S曲线的串联广泛应用于工程项目中。例如在连续带钢处理线中，出口段速度给定为工艺段S曲线输出速度叠加冲、放套速度，出口段速度相当于两级S曲线串联。这里，采用两个S7-1500 PLC进行试验。PLC1中运行S1曲线，PLC2中运行两个加减速参数相同的曲线S2和S12。同时给S1和S2阶跃速度输入，将S1输出速度V1_OUT通过以太网通信传输给PLC2，作为S12曲线的速度输入。下面讨论不同斜率S曲线的输出响应特性。

TU1＜TU2串联曲线如图5所示。高斜率S1曲线串联低斜率S12曲线，即加速时间TU1＜TU2时，串联后的输出响应与单独调用S2曲线的效果一致。由图5可知，S1曲线的加速时间TU1=5 s，圆弧时间TRU1=1 s，S2和S12曲线的加速时间TU2=10 s，圆弧时间TRU2=1 s。串联后S12的速度输出曲线V12_OUT与S2输出曲线V2_OUT重合，串联后S12的加速度YA12与S2的加速度YA2相等。

图5 TU1＜ TU2串联曲线Fig.5 Series connection curves with TU1＜TU2

低斜率S1曲线串联高斜率S12曲线时，即加速时间TU1＞TU2时。由于S12的速度和加速度受到S1的加速度限制，S12始终处于变加速过程。串联后的速度输出曲线V12_OUT跟随低加速度S1曲线的速度输出，但加速度YA12与S1，S12曲线的加速度变化率 J1，J2的大小有关。J2相对 J1越大时，S12的圆弧时间越短，S12的输出速度曲线V12_OUT对S2的输出曲线V2_OUT跟随性越好，但加速度YA12以YA2为基准线波动越明显。

图6为J1＜J2时积分器串联的响应曲线，其中TU1=10 s，TRU1=1 s，TU2=5 s，TRU2=0.1 s。当 J2相对 J1越小时，S12的圆弧时间越长，V12_OUT滞后V2_OUT越多，但YA12曲线相对平滑。图7为J1＞J2时积分器串联的响应曲线，其中TU1=10 s，TRU1=1 s ，TU2=5 s，TRU2=1 s。由于圆弧时间越短，加减速过程对设备的瞬时冲击越大，工程应用中应根据设备的承受能力选择合适的J1，J2值以满足生产工艺要求。

图6 J1＜J2串联曲线Fig.6 Series connection curves with J1＜J2

图7 J1＞J2串联曲线Fig.7 Series connection curves with J1＞J2

2.3 定位停车

工程项目中，经常需要准确定位停车。这就需要知道S曲线从当前速度按照给定斜率降到零速需要运行的距离L。程序块按照下式计算停车距离：

当NRM单位为m/s时，输出L单位为m；当NRM单位为m/min时，输出L除以60后单位为m。

L为按照S曲线斜率至少需要预留的停车距离。多级S曲线串联应用时，取最长单级S曲线的停车距离L做定位控制。定位时从L+dL的位置开始启动定位停车程序，dL为停车余量。给定速度V按下式计算：

式中：V0为降速前的初始速度；Lact为停车程序启动后运行的距离，可由程序块输出YP处理得到；k为比例调节系数，用于根据生产工艺要求做变比例调节。

3 结论

文中S曲线程序块以加速时间和圆弧时间作为输入参数，符合工程应用习惯。程序块输出实时加速度值和最短停车距离，方便使用者根据工艺要求进行惯量补偿和定位停车控制。此外，程序块以SCL编程实现，可以方便地移植到其它支持SCL语言的PLC中，也可以编译成STL语言后，移植到支持STL的PLC中。目前，该S曲线程序块已在多款PLC中用于平整机、轧机、连续退火等生产线的速度、张力控制，并取得良好的效果，具有较好的参考和实用价值。

[1]朱晓春，屈波，孙来业，等.S曲线加减速控制方法研究[J].智能控制技术，2006，35（23）：38-40.

[2]郑仲谦，王兴飞，李松，等.基于加减速时间控制的S形速度规划新算法研究[J].2014，31（4）：425-430.

[3]陈宝罗，胡鹏飞.加减速算法分析及优化软件的设计[J].电子元器件应用，2008，10（5）：74-77.

文章来源：实用医学影像 网址: http://syyxyx.400nongye.com/lunwen/itemid-57277.shtml

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